Variable de Estado

La representación en Variables de Estado de un proceso es sumamente útil cuando se trata se sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas, los cuales resultan complicados de tratar bajo el concepto de Función de Transferencia, una sola entrada-una sola salida. De allí que, en está sección se realizará una breve introducción a la Representación en Variables de Estado de un sistema y a la utilidad que de ello se puede obtener. Cabe destacar que una Representación de Estado solamente es posible para sistemas lineales y puede expresarse en forma general para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en donde las variables de estado del sistema son las

x(t), las entradas u(t) y las posibles salidas y(t) tal como de muestra a continuación.

Atenuadores variables de estado sólido

Ecuaciones diferenciales que expresan el modelo del sistema

x˙1(t) = f1 (x1(t), x2(t), ... xn(t), u1(t), u2(t), ... un(t), t)x˙2(t) = f2 (x1(t), x2(t), ... xn(t), u1(t), u2(t), ... un(t), t). 
.
.

x

˙n(t) = fn (x1(t), x2(t), ... xn(t), u1(t), u2(t), ... un(t), t)

Relaciones que expresan las salidas en función de las variables del sistema:

y1(t) = g1 (x1(t), x2(t), ... xn(t), u1(t), u2(t), ... un(t), t)

y

2(t) = g2 (x1(t), x2(t), ... xn(t), u1(t), u2(t), ... un(t), t)

...

ym(t) = gm (x1(t), x2(t), ... xn(t), u1(t), u2(t), ... un(t),t)

Lo anterior puede ser expresado en forma matricial como se muestra a continuación, en donde las matrices

A, B, C y D dependerán de las funciones f y g que determinan el modelo del sistema.

˙x

= Ax + Buy
= Cx + Du.

Ejemplo

Para los siguientes ejemplos se disponen de las ecuaciones diferenciales que describen diferentes procesos y se requiere que las mismas se expresen a través de su representación de estado.

1) Cuando las ecuaciones del modelo son todas de primer orden y lineales.

x˙1 = x2 x˙2 = −K2x1 − K1x2 + u1 + K3u2 x˙3 = −K5x2 − K4x3 + K6u1 y1 = x1 y2 = x3.

A partir de allí se obtiene directamente la representación de estado en funciones de las matrices caracter

ísticas tal como se muestras.

2) Cuando las ecuaciones del modelo no son tadas de primer orden pero si son lineales.

m1y¨1 = u1 − b1 (y˙1 − y˙2) − k1y1

m2y¨2 = u2 + b1 (y˙1 − y˙2) − k2y2

Como existen derivadas de segundo orden se deben definir algunas variables auxiliares, de forma tal

que el modelo pueda representarse en variables de estado.

x1 = y1 x2 = y˙1 x3 = y2 x4 = y˙2

A partir de allí las ecuaciones del modelo se expresan como sigue,

m

1x˙ 1 = u1 − b1 (x2 − x4) − k1x1

m

2x˙ 4 = u2 + b1 (x2 − x4) − k2x3

teniendo en definitiva lo siguiente,

Ejemplo: sea un sistema generico de tercer orden para una sola entrada y una salida del tipo:
a3 y"" + a2y"" + a1 y"" + a0 y = b0 u
tiene como funcion de transferencia F(s)/=Y(s)/U(s)

previamente dividido por a3 ambos miembros para despejar la 3ra derivada, se obtienee:

para poder encontrar la representacion en espacio de estado, esto es el sistema de ecuaciones de primer orden de grado n=3 se puede hacer:

* La salida al estado x1 ; y=x1

*la y"= x2

*la y"= x3

Por lo tanto se puede armar el siguiente sistema de ecuaciones de primer orden:

por lo tanto se puede representar en notacion matricial los valores de A,B,C y D.

a su vez si se representa por diagrama de flujo considerando nodo de entrada a u, nodo de salida y nodos comunes a los estados y sus derivadas. Tomando la notacion temporar pero representando la integracion en el campo transformado se obtiene el siguiente diagrama de flujo

caso a:

sea un sistema Generico de 3er orden con una entrada y una salida del tipo:
a3 y"" + a2y" + a1y´ + a0 y= b0 u + b1u´ + b2"

tiene como funcion de transferencia F(S) = Y(S)/ U(S)

Para poder aplicar la regla de MASON se divide ambos miembros por a3 s3 quedando:

Analizando solo el denominador se encuentran 3 lazos que se deben tocar por lo tanto su representacion parcial suponiendo que se tocan todos en x´3 es:

el analisis del numerador indica tres caminos que deben pasar por un, dos y tres integradores, siendo sus respectivos determinantes adjuntos de valor unitario, lo que equivale al grafico:

del grafico se desprende que la expresion en Espacio de estado es:

X´ = AX + BU ; Y= CX + DU

si se cambian los valores de las variables de estado definido otro conjunto, esto es un vector x = T z, de tal forma que la matriz T sea invertible y de orden n por n, si se remplazan en:

por lo tanto el diagrama de flujo debe quedar

Caso b:

link: como resolver un circuito por el metodo de variable de estado

http://www.youtube.com/watch?v=VPQDeDgQZdw

Representación por variable de estado

Control clásico

El modelado y control de sistemas basado en la transformada de Laplace, es un enfoque muys encillo y de fácil aplicación. Permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más
valor la simplicidad que la exactitud.

Sistemas dinámicos y variables de estado

Definiciones básicas:

Sistema, se entenderá como una relación entre entradas y salidas.

Un Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y solo una salida.

Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si el sistema tiene más de una entrada o más de una salida se llamará multivariable.

Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto tiempo t1, no depende de entradas aplicadas después de t1. Obsérvese que la definición implica que un sistema no causal es capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la causalidad es una propiedad intrínseca de cualquier sistema físico.

Sistema dinámico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas pasadas y presentes. Si el valor de la salida en t1 depende solamente de la entrada aplicada en t1, el sistema se conoce como estático o sin memoria.

La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia. En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo aunque no se cambie la entrada, a menos que el sistema ya se encuentre en estado estable.

Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene parámetros fijos o estacionarios con respecto al tiempo, es decir, sus características no cambian al pasar el tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son invariantes con traslaciones en el tiempo.

Representación por variable de estado

Sistemas contínuos

Entre las formas de modelar un sistema matemáticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representación de variables de estado. Buscar un modelo matemático es encontrar una relación matemática entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representación interna (representación por variables de estado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio.

Sistemas Discretos.
Las computadoras, microprocesadores y procesadores digitales operan como sistemas discretos y como ya se mencionó, tienen la característica de operar con información o señales que presentan discontinuidad tanto en magnitud como en tiempo.
Las computadoras operan y manipulan información en forma de códigos digitales, es decir, en grupos de bits (el bit es la unidad básica de operación y puede tener solo 2 posibles valores: “0” ó “1”).